该系列博客主要讲述 M A T L A B {\rm MATLAB} MATLAB软件在自动控制方面的应用，参考书籍：《 M A T L A B / S I M U L I N K {\rm MATLAB/SIMULINK} MATLAB/SIMULINK与控制系统仿真》。
3.控制系统校正的根轨迹法 3.1 概述 根轨迹法是一种图解法，描述了系统某一参数从零变化到无穷大时，其闭环极点位置的变化；通过引入适当的校正装置来改变原来系统的根轨迹，以获得期望的系统性能；引入校正装置即在系统中增加零极点，通过零极点的变化改变根轨迹的形状；用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零极点来改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在 s s s平面上通过希望的闭环极点；根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，零点和附加的极点会影响响应特性；应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上；在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间；在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间；当系统性能指标是以最大超调量、上升时间、调节时间、阻尼比，及希望的闭环阻尼比、闭环极点无阻尼频率等表示时，采用根轨迹法进行校正较为方便；采用根轨迹法确定串联校正参数的条件是： 已确定采用串联校正方案；给定时域指标： σ p 、 t s 、 e s s ( ∞ ) \sigma_p、t_s、e_{ss}(\infty) σp、ts、ess(∞)； 3.2 基于根轨迹法的超前校正用根轨迹法设计超前校正装置步骤：
先假定系统的控制性能由靠虚轴最近的一对闭环共轭极点 s d s_d sd主导；
应用二阶系统参量 ζ \zeta ζ和 ω n \omega_n ωn与时域指标之间的关系，按给定的 σ p \sigma_p σp和 t s t_s ts确定闭环主导极点的位置；
绘制原系统根轨迹，如果根轨迹不能通过希望的闭环主导极点，则表明仅调整增益不能满足给定要求，需要增加校正装置；如果原系统根轨迹位于期望极点的右侧，则应加入超前校正装置；
计算超前校正装置应提供的超前相角；
按下式计算校正装置零极点位置： φ c = ± ( 2 k + 1 ) π − ∠ G 0 ( s d ) \varphi_c=±(2k+1)\pi-\angle{G_0(s_d)} φc=±(2k+1)π−∠G0(sd)
由幅值条件确定校正后系统增益；
校验系统的性能指标，如果系统不能满足要求指标，适当调整零极点位置；如果需要大的静态误差系数，则应采用其他方案；
3.3 基于根轨迹法的滞后校正用根轨迹法设计滞后校正装置步骤：
绘制出未校正系统的根轨迹；根据要求的瞬态响应指标，确定希望的闭环主导极点，根据根轨迹的幅值条件，计算与主导极点对应的开环增益；按给定的性能指标中关于稳态误差的要求，计算应增大的误差系数值；由应增大的误差系数值确定校正装置 β \beta β值，通常 β \beta β取值不超过 10 10 10；确定滞后校正装置的零极点，原则是使零极点靠近坐标原点，且两者相距 β \beta β倍；绘制校正后系统的根轨迹，并求出希望的主导极点；由希望的闭环极点，根据幅值条件，适当调整放大器的增益；校验校正后系统各项性能指标，如不满足要求，则适当调整校正装置零极点位置； 3.4 基于根轨迹法的超前滞后校正用根轨迹法设计超前滞后校正装置步骤：
根据要求的性能指标，确定希望的主导极点 s d s_d sd位置；
为使闭环极点位于希望的位置，计算超前滞后校正中超前部分应产生的超前相角： φ c = ± ( 2 k + 1 ) π − ∠ G 0 ( s d ) \varphi_c=±(2k+1)\pi-\angle{G_0(s_d)} φc=±(2k+1)π−∠G0(sd)
超前滞后校正装置的传递函数为： φ c = ± ( 2 k + 1 ) π − ∠ G 0 ( s d ) ， G c ( s ) = K c ( s + 1 T 1 s + β T 1 ) ( s + 1 T 2 s + 1 T 2 β ) \varphi_c=±(2k+1)\pi-\angle{G_0(s_d)}，G_c(s)=K_c\left(\frac{s+\displaystyle\frac{1}{T_1}}{s+\displaystyle\frac{\beta}{T_1}}\right)\left(\frac{s+\displaystyle\frac{1}{T_2}}{s+\displaystyle\frac{1}{T_2\beta}}\right) φc=±(2k+1)π−∠G0(sd)，Gc(s)=Kc s+T1βs+T11 s+T2β1s+T21
对超前滞后校正中滞后部分的 T 2 T_2 T2选择要足够大，即： ∣ s d + 1 T 2 s d + 1 T 2 β ∣ = 1 ， ∣ s d + 1 T 1 s d + β T 1 ∣ ∣ K 1 G 0 ( s d ) ∣ = 1 ， ∠ ( s d + 1 T 1 ) − ∠ ( s d + β T 1 ) = φ \begin{vmatrix} \displaystyle\frac{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_2}}{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_2\beta}} \end{vmatrix}=1，\begin{vmatrix} \displaystyle\frac{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_1}}{s_d+\displaystyle\frac{\beta}{T_1}} \end{vmatrix}\begin{vmatrix}K_1G_0(s_d)\end{vmatrix}=1，\angle\left(s_d+\displaystyle\frac{1}{T_1}\right)-\angle\left(s_d+\displaystyle\frac{\beta}{T_1}\right)=\varphi sd+T2β1sd+T21 =1， sd+T1βsd+T11 K1G0(sd) =1，∠(sd+T11)−∠(sd+T1β)=φ
利用求得的 β \beta β值，选择 T 2 T_2 T2，使： ∣ s d + 1 T 2 s d + 1 T 2 β ∣ ≈ 1 ， 0 ° < ∠ ( s d + 1 T 2 s d + 1 T 2 β ) < 3 ° \begin{vmatrix} \displaystyle\frac{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_2}}{s_d+\displaystyle\frac{1}{T_2\beta}} \end{vmatrix}≈1，0°1};ngv=polyval(numG,s1);dgv=polyval(denG,s1);g=ngv/dgv;theta_G=angle(g);theta_s=angle(s1);MG=abs(g);Ms=abs(s1);Tz=(sin(theta_s)-kc*MG*sin(theta_G-theta_s))/(kc*MG*Ms*sin(theta_G));Tp=-(kc*MG*sin(theta_s)+sin(theta_G+theta_s))/(Ms*sin(theta_G));Gc=tf([Tz,1],[Tp,1]);
【 S T E P 2 {\rm STEP2} STEP2】：求解系统校正环节传递函数和校正后闭环传递函数及各响应曲线。
% 实例Chapter8.3.5.1clc;clear;% 建立校正前控制系统开环传递函数num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1]));G=tf(num,den);% 校正后系统的性能要求zeta=0.2;wn=12.0;[num,den]=ord2(wn,zeta);s=roots(den);s1=s(1);kc=2;Gc=get_param(G,s1,kc);GGc=G*Gc*kc; % 校正后系统开环传递函数G_bf_close=feedback(G,1); % 校正前系统闭环传递函数G_af_close=feedback(GGc,1); % 校正后系统闭环传递函数% 绘制单位阶跃响应figure(1);step(G_af_close,'b',3.5);hold on;step(G_bf_close,'r',3.5);grid;legend('校正后闭环系统阶跃响应','校正前闭环系统阶跃响应');set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);title('校正前后系统阶跃响应','FontSize',15);% 绘制单位脉冲响应figure(2);impulse(G_af_close,'b',3.5);hold on;impulse(G_bf_close,'r',3.5);grid;legend('校正后闭环系统脉冲响应','校正前闭环系统脉冲响应');set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);title('校正前后系统脉冲响应','FontSize',15);% 绘制校正前后系统根轨迹图figure(3);rlocus(G,GGc);grid;legend('校正前系统根轨迹图','校正后系统根轨迹图');set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);title('校正前后系统根轨迹','FontSize',15);% 超前校正环节传递函数和校正后系统闭环传递函数Gc,G_af_close % 校正环节传递函数Gc = 1.016 s + 1 ------------ 0.0404 s + 1% 校正后系统闭环传递函数G_af_close = 4.672 s + 4.6 ------------------------------------------------------- 0.001212 s^4 + 0.04414 s^3 + 0.3904 s^2 + 5.672 s + 4.6【 S T E P 3 {\rm STEP3} STEP3】：系统校正前后单位阶跃响应曲线。
【 S T E P 4 {\rm STEP4} STEP4】：系统校正前后单位脉冲响应曲线。
【 S T E P 5 {\rm STEP5} STEP5】：系统校正前后根轨迹。
【 S T E P 6 {\rm STEP6} STEP6】：性能分析。
串联超前校正环节传递函数为： G c ( s ) = 1.016 s + 1 0.0404 s + 1 G_c(s)=\displaystyle\frac{1.016s+1}{0.0404s+1} Gc(s)=0.0404s+11.016s+1；由单位阶跃响应曲线知，校正前系统超调： σ = 17.3 % \sigma=17.3\% σ=17.3%，上升时间： t r = 0.58 s t_r=0.58{\rm s} tr=0.58s，调节时间： t s = 2.92 s t_s=2.92{\rm s} ts=2.92s；由单位阶跃响应曲线知，校正后系统超调： σ = 31.7 % \sigma=31.7\% σ=31.7%，上升时间： t r = 0.123 s t_r=0.123{\rm s} tr=0.123s，调节时间： t s = 2.3 s t_s=2.3{\rm s} ts=2.3s；因此，系统经串联超前校正后，系统性能提高；从根轨迹图知，校正后系统根轨迹左移，提高系统相对稳定性，缩短系统调节时间； 3.5.2 实战2：滞后校正实验要求：已知系统开环传递函数为： G ( s ) = 4 s ( s + 2.5 ) G(s)=\displaystyle\frac{4}{s(s+2.5)} G(s)=s(s+2.5)4，设计串联滞后校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数： K v ≤ 6 K_v≤6 Kv≤6，闭环主导极点满足阻尼比： ζ = 0.407 \zeta=0.407 ζ=0.407，绘制校正前后系统单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应、根轨迹。
解：
【 S T E P 1 {\rm STEP1} STEP1】：计算串联滞后校正环节参数子函数程序设计。
% get_param_02子函数，文件：get_param_02.mfunction [Gc,kc]=get_param_02(G,zeta,wc,Tz)G=tf(G);[r,k]=rlocus(G);za=zeta/sqrt(1-zeta^2);ri=r(1,find(imag(r(1,:))>0));ra=imag(ri)./real(ri);kc=spline(ra,k(find(imag(r(1,:))>0)),1/za);syms x;syms ng;syms dg;ng=poly2sym(G.num{1});dg=poly2sym(G.den{1});ess=limit(ng*kc/dg*x);beta=round(100/sym2poly(ess)/wc);Tp=Tz/beta;Gc=tf([1,Tz],[1,Tp]);【 S T E P 2 {\rm STEP2} STEP2】：求解系统校正环节传递函数和校正后闭环传递函数及各响应曲线。
% 实例Chapter8.3.5.2clc;clear;% 建立校正前控制系统开环传递函数num=4;den=conv([1,0],[1,2.5]);G=tf(num,den);% 校正后系统的性能要求zeta=0.407;wc=6;Tz=0.1;[Gc,Kc]=get_param_02(G,zeta,wc,Tz);GGc=G*Gc*Kc; % 校正后系统开环传递函数G_bf_close=feedback(G,1); % 校正前系统闭环传递函数G_af_close=feedback(GGc,1); % 校正后系统闭环传递函数% 绘制单位阶跃响应figure(1);step(G_af_close,'b');hold on;step(G_bf_close,'r');grid;axis([0 15 0 1.4]);legend('校正后闭环系统阶跃响应','校正前闭环系统阶跃响应');set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);title('校正前后系统阶跃响应','FontSize',15);% 绘制单位脉冲响应figure(2);impulse(G_af_close,'b');hold on;impulse(G_bf_close,'r');grid;legend('校正后闭环系统脉冲响应','校正前闭环系统脉冲响应');set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);title('校正前后系统脉冲响应','FontSize',15);% 绘制校正前后系统根轨迹图figure(3);rlocus(G,GGc);grid;legend('校正前系统根轨迹图','校正后系统根轨迹图');set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);title('校正前后系统根轨迹','FontSize',15);% 超前校正环节传递函数和校正后系统闭环传递函数Gc,Kc,G_af_close % 滞后校正环节传递函数Gc = s + 0.1 --------- s + 0.025% 系统增益Kc = 2.3581% 校正后系统闭环传递函数G_af_close = 9.433 s + 0.9433 ---------------------------------- s^3 + 2.525 s^2 + 9.495 s + 0.9433【 S T E P 3 {\rm STEP3} STEP3】：系统校正前后单位阶跃响应曲线。
【 S T E P 4 {\rm STEP4} STEP4】：系统校正前后单位脉冲响应曲线。
【 S T E P 5 {\rm STEP5} STEP5】：系统校正前后根轨迹。
【 S T E P 6 {\rm STEP6} STEP6】：性能分析。
串联滞后校正环节传递函数为： G c ( s ) = s + 0.1 s + 0.025 G_c(s)=\displaystyle\frac{s+0.1}{s+0.025} Gc(s)=s+0.025s+0.1；由单位阶跃响应曲线知，校正前系统超调： σ = 8.08 % \sigma=8.08\% σ=8.08%，上升时间： t r = 0.961 s t_r=0.961{\rm s} tr=0.961s，调节时间： t s = 2.99 s t_s=2.99{\rm s} ts=2.99s；由单位阶跃响应曲线知，校正后系统超调： σ = 27.4 % \sigma=27.4\% σ=27.4%，上升时间： t r = 0.478 s t_r=0.478{\rm s} tr=0.478s，调节时间： t s = 2.3 s t_s=2.3{\rm s} ts=2.3s；因此，系统经串联滞后校正后，系统性能提高； 3.5.3 实战3：超前滞后校正环节实验要求：已知系统开环传递函数为： G ( s ) = 8 s ( s + 0.4 ) G(s)=\displaystyle\frac{8}{s(s+0.4)} G(s)=s(s+0.4)8，设计超前滞后校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数： K v ≤ 5 K_v≤5 Kv≤5，闭环主导极点满足阻尼比： ζ = 0.2 \zeta=0.2 ζ=0.2和自然振荡角频率： ω n = 5 r a d / s \omega_n=5{\rm rad/s} ωn=5rad/s，相角裕度为： 50 ° 50° 50°，绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。
解：
【 S T E P 1 {\rm STEP1} STEP1】：主函数。
% 实例Chapter8.3.5.3clc;clear;% 建立控制系统模型z=[];p=[0,-0.4];k=8;Gz=zpk(z,p,k);G=tf(Gz);zeta=0.2;wn=5;kc=1;Tz=0.1;dPm=50+5;ng=G.num{1}; % 把G.num中的第一个元胞赋给ng.[num,den]=ord2(wn,zeta);s=roots(den);s1=s(1);Gc1=get_param(G,s1,kc);G1=G*Gc1*kc;[Gc2,Kc2]=get_param_02(G,zeta,wn,Tz);GGc=G1*Gc2*Kc2; % 校正后系统开环传递函数G_bf_close=feedback(G,1); % 校正前系统闭环传递函数G_af_close=feedback(GGc,1); % 校正后系统闭环传递函数% 绘制单位阶跃响应figure(1);step(G_af_close,'b');hold on;step(G_bf_close,'r');grid;legend('校正后闭环系统阶跃响应','校正前闭环系统阶跃响应');set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);title('校正前后系统阶跃响应','FontSize',15);% 绘制单位脉冲响应figure(2);impulse(G_af_close,'b');hold on;impulse(G_bf_close,'r');grid;legend('校正后闭环系统脉冲响应','校正前闭环系统脉冲响应');set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);title('校正前后系统脉冲响应','FontSize',15);% 绘制校正前后系统根轨迹图figure(3);rlocus(G,GGc);grid;legend('校正前系统根轨迹图','校正后系统根轨迹图');set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);title('校正前后系统根轨迹','FontSize',15);% 超前校正环节传递函数和校正后系统闭环传递函数Gc1,Gc2,G_af_close【 S T E P 2 {\rm STEP2} STEP2】：超前环节传递函数、滞后环节传递函数和校正后闭环传递函数。
% 超前校正环节传递函数Gc1 = 1.358 s + 1 ----------- 0.425 s + 1% 滞后校正环节传递函数Gc2 = s + 0.1 ---------- s + 0.0125% 校正后系统闭环传递函数G_af_close = 1.358 s^2 + 1.136 s + 0.1 ------------------------------------------------- 0.425 s^4 + 1.175 s^3 + 1.773 s^2 + 1.141 s + 0.1【 S T E P 3 {\rm STEP3} STEP3】：单位阶跃响应曲线。
【 S T E P 4 {\rm STEP4} STEP4】：单位脉冲响应曲线。
【 S T E P 5 {\rm STEP5} STEP5】：系统根轨迹曲线。
【 S T E P 6 {\rm STEP6} STEP6】：系统性能分析。
串联超前滞后校正环节传递函数为： G c ( s ) = 0.125 × s + 0.1 s + 0.0125 × 1.358 s + 1 0.425 s + 1 G_c(s)=0.125\times\displaystyle\frac{s+0.1}{s+0.0125}\times\displaystyle\frac{1.358s+1}{0.425s+1} Gc(s)=0.125×s+0.0125s+0.1×0.425s+11.358s+1；由单位阶跃响应曲线知，校正前系统超调： σ = 79.9 % \sigma=79.9\% σ=79.9%，上升时间： t r = 0.384 s t_r=0.384{\rm s} tr=0.384s，调节时间： t s = 19.1 s t_s=19.1{\rm s} ts=19.1s；由单位阶跃响应曲线知，校正后系统超调： σ = 28.9 % \sigma=28.9\% σ=28.9%，上升时间： t r = 0.907 s t_r=0.907{\rm s} tr=0.907s，调节时间： t s = 4.19 s t_s=4.19{\rm s} ts=4.19s；因此，系统经串联超前滞后校正后，系统性能提高；